Teorema de Bernolli

TEOREMA DE BERNOULLI

El teorema de Bernoulli también es denominado como la ecuación de Bernoulli; es la encargada de la descripción del comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente.

Este teorema fue expuesto en 1738 y expresa que un fluido ideal ( sin viscocidad ni rozamiento) en un regimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido.

Bernoulli también fue el encargado del estudio de la dinámica de los fluidos a la que denomino Hidrodinámica.

La ecuación de Bernoulli encuentra la relación fundamental entre la presión, la altura y la velocidad de un fluido, que no pueden modificarse estas variables independientemente una de la otra, si no que estan determinadas por la Energía Mecánica del sistema.

Supongamos que un fluido ideal circula por una cañería como la que muestra la figura. Concentremos nuestra atención en una pequeña porción de fluido V (coloreada con celeste): al cabo de cierto intervalo de tiempo Dt (delta t) , el fluido ocupará una nueva posición (coloreada con rojo) dentro de la Al cañería. ¿Cuál es la fuerza "exterior" a la porción V que la impulsa por la cañería?

Sobre el extremo inferior de esa porción, el fluido "que viene de atrás" ejerce una fuerza que, en términos de la presiónp1, puede expresarse corno p1 . A1, y está aplicada en el sentido del flujo. Análogamente, en el extremo superior, el fluido "que está adelante" ejerce una fuerza sobre la porción V que puede expresarse como P2 . A2, y está aplicada en sentido contrario al flujo.
Es decir que el trabajo (T) de las fuerzas no conservativas que están actuando sobre la porción de fluido puede expresarse en la forma:

T=F1 . Dx1- F2. Dx2 = p1. A1. Dx1-p2. A2. Ax2

Si tenemos en cuenta que el fluido es ideal, el volumen que pasa por el punto 1 en un tiempo Dt (delta t) es el mismo que pasa por el punto 2 en el mismo intervalo de tiempo (conservación de caudal). Por lo tanto:

V=A1 . Dx1= A2. Dx2 entonces T= p1 . V - p2. V

El trabajo del fluido sobre esta porción particular se "invierte" en cambiar la velocidad del fluido y en levantar el agua en contra de la fuerza gravitatoria. En otras palabras, el trabajo de las fuerzas no conservativas que actúan sobre la porción del fluido es igual a la variación de su energía mecánica Tenemos entonces que:

T = DEcinética + AEpotencial = (Ec2 — Ec1) + (Ep2 — Ep1)
p1 . V — P2 . V = (1/2 .m . V2² — 1/2 . m. V1²) + (m . g . h2 — m . g . h1)

Considerando que la densidad del fluido está dada por d=m/V podemos acomodar la expresión anterior para demostrar que:

P1 + 1/2 . d. V1² + d . g. h1= P2 + 1/2 . d. V2² + d . g . h2

Noten que, como los puntos 1 y 2 son puntos cualesquiera dentro de la tubería, Bernoulli pudo demostrar que la presión, la velocidad y la altura de un fluido que circula varian siempre manteniendo una cierta cantidad constante, dada por:

p + 1/2. d . V² + d. g. h = constante

Veremos la cantidad de aplicaciones que pueden explicarse gracias a este teorema.